Concours UE4 2012/2013 - Q4

Bonjour !!

Dans la question qui suit on nous demande la corrélation d'une variable avec elle-même :
a) est toujours nulle (faux)
b) est nulle dès lors que la variable a une variance nulle (en regardant la formule de r je serais tentée de dire que oui)
c) est nulle si et seulement si la variable est de moyenne et de variance nulles (là je coince...)
d) est égale à sa variance (faux)
e est toujours égale à a (en prenant des exemples au pif sur ma calculette je pourrais aussi penser que c'est vrai)

M.F. n'a jamais détaillé ça dans son cours, ni l'année dernière d'ailleurs je crois... donc comment faire ?

Yop ! 

Alors, selon moi :
 
a) est faux

b) est faux selon moi. 
Si on part du principe que r = p * Sx/Sy,  dans ce cas Sx et Sy sont nuls, ce qui revient à diviser par 0. 
Même si on considère que dans ce cas Sx/Sy = 1 (Puisque Sx = Sy), on ne peut pas calculer p puisqu'on ne dispose au final que d'un seul point (la variance est nulle)
De plus, j'ai tenté une simulation de ce cas de figure à la calculatrice, qui me renvoie "error". J'en conclus que ce n'est pas calculable (ce n'est donc pas nul !)
Ça revient à chercher la corrélation de 1 avec 1 (par exemple)... On ne peut pas faire de stats avec 1 seule valeur.

c) Faux. Pareil que b, on est dans un cas encore plus restrictif, c'est le cas où on corrèle 0 avec lui même... c'est incalculable.

d) Faux effectivement, la variance ( > 0)  n'est pas forcément comprise entre -1 et 1, au contraire de r.

e) Vrai.
Si on corrèle une variable avec elle même, alors X = Y.
La droite des moindres carrés est la droite X = Y de pente 1.
La corrélation est parfaite et dans le sens positif, elle vaut donc 1.

(Autre démonstration : 
r = p . Sx / Sy
Sx = Sy donc Sx / Sy = 1
D'où r = p)

Merci