Homogénéité : coefficient d'applatissement

En cours, Mr.F nous a indiqué qu'on pouvait vérifier un caractère gaussien avec un coefficient d'applatissement et le coefficient de symétrie!
Je ne vois pas du tout en quoi ça nous permet de conclure un K gaussien ou non????????

Salut ! 

On va commencer par un fait très simple : il ne vous a sûrement parlé de ça que dans un but culturel. Les formules de ces deux coefficients sont imbuvables et impraticables à la main ou avec vos calculatrices. Dans le doute, tu peux toujours retenir leur interprétation, on sait jamais, mais je pense vraiment que c'était dans un but culturel.


Mais comme du coup j'ai fait des recherches sur le sujet, autant t'en faire profiter : 
(Sources : Livre de M. Forzy, page 85; Wikipédia, articles "Kurtosis" et "Asymétrie (statistiques)", plus d'autres sites en anglais (youhou)).

On va commencer par bien redéfinir les notions : 
- Le coefficient d’aplatissement est appelé Kurtosis
- Le coefficient d’asymétrie (et non pas de symétrie !) est aussi appelé Skewness.

(ça me semblait important vu que c'est le contraire dans son livre, je sais pas ce qu'il vous a dit en cours...)

La courbe de Gauss (donc la distribution normale) a deux caractéristiques bien à elles : 
- D'abord sa forme : c'est une courbe en cloche
- Ensuite la fait qu'elle soit symétrique de part et d'autre de la moyenne.

Le coefficient d'asymétrie va évaluer, comme son nom l'indique, l'asymétrie de ta distribution.
Pour une loi normale parfaite, l'asymétrie vaut 0 (elle est parfaitement symétrique). Dans les faits, en se basant sur un échantillon on n'aura jamais une distribution parfaitement symétrique, donc on tolère un coefficient d'asymétrie compris entre -2 et 2 (la courbe est pas tout à fait symétrique, mais c'est pas mal quand même).

Le kurtosis (coefficient d’aplatissement) va évaluer purement la forme de la courbe, indépendamment de sa dispersion (de son écart-type).
Tant que ta courbe a une forme de courbe en cloche, son kurtosis vaudra 0, peu importe sa dispersion. 
Par contre, si la forme de la courbe change (imagine une courbe qui serait pointue comme un triangle, ou alors une courbe qui serait un demi-cercle), son kurtosis va changer.
Pour une loi normale, le kurtosis normalisé vaut 0, et de la même manière, dans la pratique on va tolérer de le voir compris entre -2 et 2.
Ici une petite image qui montre différentes courbes avec un coefficient d'aplatissement différent


Au final, si pour une distribution observée tu trouves un coefficient d'aplatissement compris entre -2 et 2 et un coefficient d'asymétrie compris entre -2 et 2, c'est que ta distribution est symétrique et a une forme de courbe en cloche, alors ta distribution observée n'est pas significativement différente d'une distribution normale.


C'est quand même plus facile de vérifier la normalité par un X² quand même, quand on a pas de logiciel pour calculer les 2 coefficients... 

J'espère que ça répond à ta question, mais c'est tout à fait hors du programme !

Ahhhhh d'accord!
Ok, bah au moins j'ai compris quand-même merci