ED2 2015 exercice 2

Bonjour,
Je n'arrives pas du tout à comprendre la première question de l'exo 2 de l'ED2 de 2015.
Je vous mets l'énoncé ainsi que la correction (que je ne comprends pas non plus).
Merci par avance pour votre aide


Le poids de naissance des nouveau-nés suit une distribution normale de moyenne 3200 et d’écart-type 500.
Un étudiant souhaite réaliser une étude pour laquelle il doit enregistrer des données médicales pour 70 nouveau-nés de poids de naissance compris entre 4000 et 4500 grammes.

1) Combien de naissances devrait-il inclure pour obtenir cet effectif, en sachant que 10 % des mères refusent qu’un étudiant enregistre des données médicales pour leur nouveau-né ?
a. 77
b. 636
c. 1400
d. 1540
e. 1556
f. 3112

(4000 – 3200)/500 = 1.6.
Pour epsilon = 1.6, alpha = 0.11
(4500 – 3200)/500 = 2.6
Pour epsilon = 2.6, alpha = 0.01
Donc 5 % des NN (0.11 – 0.01)/2 ont un PN entre 4000 et 4500g.
Il faut inclure 1400 naissances pour avoir 5 % = 70 entre 4000 et 4500 grammes, mais comme 10 % des mères refusent, on inclut 1400/0.9 = 1556 naissances. ( 1400 doit représenter 90% des inclusions)
Le fait d’ajouter 10% de 1400 à 1400 est une solution facile mais ne répond pas tout à la rigueur du calcul

Salut !

C'est un exercice qui se résout tranquillement et par étapes successives.

Nous travaillons avec des données quantitatives.
On recherche donc un nombre de naissances à inclure dans un intervalle pour satisfaire un effectif donné dans l'énoncé. Ce type de questions nous oriente vers l'utilisation de la formule de l'Ecart-réduit.

Il est super important dans ce genre d'exercice de se réaliser un court schéma en situant dessus les données qui nous sont indiquées :



L'intervalle sur lequel on travaille est l'intervalle bleu, situé entre 4000 et 4500.

Pour le moment, on cherche à déterminer le pourcentage de nouveaux-nés (NN) se trouvant dans cet intervalle, donc possédant un poids de naissance compris entre 4000 et 4500 grammes.

Ce pourcentage est déterminé grâce à la formule de l'écart-réduit : e = ε * s.
On va donc déterminer un α après avoir calculé nos ε grâce à la table de l'écart-réduit.

On cherche α1 :
ε1 = e1 / s --> ε1 = (4000 – 3200)/500 = 1,6
En lisant la table, on a α1 = 0,11

On cherche α2 :
ε2 = e2 / s --> ε2 = (4500 – 3200)/500 = 2,6
En lisant la table, on a α2 = 0,01

Chacune des valeurs de α est divisée par 2 du fait de la symétrie de la loi normale. On a donc α1/2 et α2/2 de part et d'autre de la moyenne (3200).

En observant le schéma, on se rend compte que la valeur de la zone bleue correspond en fait à la valeur de α1/2 - α2/2.
α1/2 - α2/2 = (0,11 - 0,01) / 2
α1/2 - α2/2 = 0,05
5% des NN ont un poids de naissance compris entre 4000 et 4500 grammes.

Désormais, on souhaite attribuer à la valeur de ce pourcentage un nombre de sujets.
Il nous faut dès lors trouver l'effectif N, nécessaire pour que 70 NN correspondent à 5% de cet effectif.

Il faut voir cela comme une sorte de produit en croix :
            5%     --> 70 NN
           100%  -->   Effectif N

Donc Effectif N = 70 * 1 / 0,05 = 1400 NN
Ainsi, pour obtenir 70 NN ayant un poids de naissance compris entre 4000 et 4500 grammes, il est nécessaire d'inclure 1400 NN dans l'étude.

Enfin, on nous indique que 10% des mères refusent que des données médicales soient enregistrées pour leur NN.
Autrement dit, il faut trouver un nombre de sujets de telle manière que l'on ait toujours 70 NN inclus dans cet intervalle.
Pour ne pas déroger à cela, on considère que les 1400 sujets établis auparavant doivent correspondre à 90% de l'effectif total. De cette manière, on est sûr de ne pas modifier nos 70 NN.

Cela se calcule en divisant 1400 / 90%, soit 1400 / 0,9.
On obtient alors 1555,5. Mais comme considérer des moitiés de bébés ce n'est pas vraiment légal, on dit qu'il est nécessaire d'en avoir 1556.

J'espère que tout ça est plus clair

Bon courage !!