Probabilités Develter

Coucou!  

Dans son diapo de probas, Develter donne un exercice sur la maladie d'Huntington qui est le suivant :



En bidouillant je trouve une probabilité que la petite fille soit malade de 0,25 (car son père a une chance sur deux d'être malade, et si il l'est elle meme a une chance sur deux de l'etre aussi ...) mais je ne suis pas sur du tout (ça me parait trop simple).

Quelqu'un peut m'éclairer?

Bonjour !

C'est un exemple très intéressant d'utilisation du théorème de Bayes (au passage, c'est une question qui tombe parfois en examen de génétique en D1, d'où l'utilité d'avoir des bases de stats... ).

Il faut commencer par poser toutes tes données.

Par commodité, j'écrirais S (avoir des symptômes), NS (ne pas avoir de symptôme), G (être porteur du gène), NG (ne pas être porteur du gène).

Pour évaluer la probabilité de la fille d'être porteur du gène, il faut évaluer celle de ses parents.

Pour la mère, faute d'antécédents dans sa famille, la probabilité d'être porteuse du gène est quasi nulle ; donc pas besoin de s'intéresser à elle.

Pour le père :

A priori (c'est à dire sans prendre en compte le fait que son absence de symptômes va jouer sur sa proba de porter le gène), il a une chance sur deux de l'avoir hérité de son père.

Donc p(G) = 0,5  et p(NG) = 0,5.

L'énoncé te donne p(NS / G) = 0,8.   Donc p(S / G) = 0,2.

Sans avoir besoin de l'écrire dans l'énoncé, un peu de logique suffit pour comprendre que p(S / NG) = 0 et p(NS / NG) = 1 : quelqu'un qui n'a pas le gène n'a absolument aucune chance d'être malade.

Maintenant qu'on a toutes les données dont on peut avoir besoin, il faut bien formuler ce qu'on cherche : p (G / NS), c'est à dire la probabilité qu'il soit porteur du gène sachant qu'il n'a pas encore déclaré de symptôme.



De là, il suffit d'appliquer le théorème de Bayes bêtement :



En remplaçant donc A par G, et B par NS. Ce qui donne :

p(G / NS) =   p(NS / G) * p(G)    /  [ p(NS / G) * p(G)  +  p(NS / NG) * p(NG)  ]
p(G / NS) =   0,8 * 0,5    /  [0,8 * 0,5  +  1 * 0,5  ]
p(G / NS) =   0,4   /   0,9
p(G / NS) =   0,44     (environ)

Maintenant, attention au piège, on se rappelle que c'est la probabilité du père; il a une chance sur deux de le transmettre à sa fille (et la mère n'en a aucune), donc la fille à une probabilité d'environ 0,22 d'être porteuse du gène !

J'espère que cette réponse est bien claire !




Une méthode plus "intelligente" consiste à comprendre ce qu'on cherche vraiment : la probabilité d'avoir de porter le gène sachant qu'on a pas de symptômes, c'est la probabilité de porter le gène et de ne pas avoir de symptômes divisé par la probabilité de ne pas avoir de symptômes. Autrement formulé :

p(G / NS) = p (G et NS) / p (NS)

Or il y a deux façons exclusives et deux seulement de ne pas avoir de symptômes :  en portant le gène ou en le ne portant pas. Donc d'après le théorème des probabilités totales :

p(G / NS) = p (G et NS) /  [p (NS et G) + p (NS et NG) ]

Puis les bases de probas du lycée (normalement revues au début du cours) permettent d'arriver à :

p(G / NS) =   p(NS / G) * p(G)    /  [ p(NS / G) * p(G)  +  p(NS / NG) * p(NG)  ]



Il peut être utile d'avoir compris ça quand on a oublié le théorème de Bayes, ça permet de le retrouver sans le connaître par coeur ! L'inconvénient, c'est que ça nécessite de réfléchir un peu plus que d'appliquer bêtement ^^

Parfait, merci mon petit JP, t'es le roi!